第103章那六个人里一定要有你

剩下的二十一个人，会回到各自的省份，回到原来的学校，把这段集训经历变成人生中一个短暂而耀眼的插曲，然后继续走各自的路。

顾小北端着饭盆在陆沉和陈志远对面坐下。

她今天打了西红柿炒鸡蛋和土豆丝，米饭上浇了一勺菜汤。

她坐下以后先吃了几口，然后用筷子指了指陈志远的碗。

「你那第三题扣的两分，是配对那一步吧。」

陈志远点头。

「我也是那里扣了一分。」顾小北说，「我写了配对，但没写为什么这样配对能让余项最小。阅卷老师说动机不明。」

陈志远愣了一下。

「你也被扣了？你不是满分？」

「十九，第一题六分，第二题七分，第三题六分。」顾小北嚼着一块西红柿，语气很平淡，但嚼的速度比平时慢，「第一题我用的是特徵标正交关系直接展开，展开到一半发现方向不太对，拐回去重新调整了分类讨论的方式。写是写对了，但书写有点乱，扣了一分。」

「十九分也不低了。」陈志远说。

「是不低。」顾小北把西红柿咽下去，「但我是冲着满分去的。」

这句话她说得很轻，像是在说给自己听。

陈志远没有接话。

陆沉也没有。

三个人安静地吃了一会儿饭，然后顾小北忽然换了一个话题。

「你们知道何巍考了多少吗？」

陆沉和陈志远都摇头。

「二十。」顾小北说，「第三题满分，第二题满分。第一题扣了一分。」

「第一题？」陈志远有些意外。

分圆域分解律那道题是三道题里公认最标准的，大部分人的扣分都集中在第二题的边界处理和第三题的陷阱上。

何巍居然在第一题上丢了分。

「他把分解律的证明从头推了一遍。」顾小北说，「不是直接用已知结论，是从分歧指数的定义开始推的。推导是对的，但写得太长了，最后时间不够，收尾的时候略掉了一个边界情况的说明。阅卷老师在那里扣了一分。」

陆沉放下筷子。

何巍不是不会做第一题。

他是选择了用一种更彻底的方式去做不满足于知道分解律可以用，而要证明分解律为什么成立。

这个选择在考场上是不经济的，代价就是那一分。

但何巍一定知道这个代价，他只是在知道代价的前提下仍然选择了那么做。

「他每次都这样。」顾小北说，语气里有一种复杂的情绪，既像是佩服又像是担忧，「我听四川队的人说，去年他在省队集训的时候，有一次模拟考试，他一道解析几何题用了四种方法解，写了八页纸，交卷的时候别人都走光了。最后那道题拿了满分，但后面两道题没时间做，那次总分倒数。」

「那他还进国家队了？」

「没有，他连续三年集训队，三次都在最后一轮被刷。」

顾小北把饭盆里最后一块西红柿夹起来，「今年是他最后一次机会。他高三了，夏天不参加高考的话，就只有竞赛这一条路。」

陆沉想起何巍在走廊里跟他讨论群表示论时的那种语气一没有开场白，没有结束语，只有对数学问题本身的专注。

那种专注不是表演出来的，是一个人真正沉浸在自己关心的领域里时才会有的状态。

何巍不是在为了进入国家队而学数学，他是在学数学的过程中恰好需要进入国家队，因为国家队是他能继续深入学数学的条件。

这两种心态的区别很细微，但陆沉能分辨出来。

因为他自己，严格来说，属于前者，他是为了某个目标而使用数学。

而何巍是后者，数学本身就是目标。

晚自习结束后，陆沉在回宿舍的路上经过操场。

操场的跑道被冬天天黑得早的夜色笼罩着，只有远处路灯投过来一小片昏黄的光。

光里站着一个人，正在原地慢跑，跑得很慢，像是在用身体的重复运动消化脑子里的什么东西。

是何巍。

陆沉在跑道边站了一会儿，然后走过去。

何巍看见他，没有停下脚步，只是把速度放得更慢了。

「你每天这个时候都来跑步？」陆沉问。

「也不是每天，想题想不通的时候来。」何巍的呼吸很平稳，跑了这一段对他几乎没什么影响，「跑着跑着，有时候就想通了。」

陆沉跟着他一起走。

两个人沿着跑道慢慢地走了一圈，谁都没说话。

操场边缘的枯草在风里发出细微的沙沙声，远处的学生宿舍亮着一排一排的窗户，光从窗户里透出来落在黑暗的地面上，像一把碎金子。

「第一题扣的那一分。」何巍忽然开口了，「你是不是也觉得我不应该扣？」

陆沉想了想。

「不是不应该。是你选择了一种容易扣分的写法。」

何巍没有反驳。

他跑了两步，然后慢下来，又变成走。

「那道题，标准解法是用已知的分解律直接套。题干里给的素数整除分圆次数，属于分歧情形，分解型是确定的。套上去，写几行，就完了。

「但你没有套。」

「因为我不喜欢套。」何巍说，「不是我觉得套公式低级，公式被证明了，拿来用天经地义。我不喜欢的是，每次套公式的时候，我心里都会有一个声音说：你只是知道这个公式能用，但你并没有真正理解它为什么能用。如果有一天你遇到一个公式覆盖不了的边界情况，你会手足无措。」

他停下来，转过身看着陆沉。

路灯的光从他侧面照过来，把他的脸分成明暗两半。

「你知道我前两年为什么在最后一轮被刷吗？」

陆沉摇头。

「第一年，我在选拔赛里碰到一道题，标准解法是用一个已知的定理直接推。那个定理我学过，但我记不清它的全部条件了。我花了二十分钟试图把那个定理的条件从记忆里挖出来，没挖全，最后证明有漏洞，那道题扣了一半的分。总分差零点五分，没进。」

「第二年，我吸取了教训，把常用定理的条件背得滚瓜烂熟。结果碰到一道题，标准解法是用一个不常用的定理，那个定理我没背，又卡住了。」

何巍的声音在冬夜的操场上有一种奇特的清晰度，每个字都被冷空气冻得棱角分明。

「第三年，也就是今年，我不背了，我决定把每一个我遇到的定理，从它的前提条件到证明过程到适用范围，全部自己推一遍。

不是为了考试的时候能套得更快，是为了下次再碰到一个我没见过的定理时，我能从零开始把它造出来。」

陆沉看着他。

这个十七岁的四川少年，站在BJ冬夜的操场上，说出来的话像在宣读一份他给自己制定的丶不容更改的纲领。

「所以你第一题写了那么长。」陆沉说。

「对。」

「后面有时间压力你也知道。」

「知道。」

「下次还这样？」

何巍没有立刻回答。

他把两只手插进裤兜里，仰起头看了看天空。

BJ冬天的夜晚，云层很厚，看不见星星，只有一种深沉的丶不透光的灰色。

「我不知道。」他最后说，「如果下次的题目是我觉得值得彻底弄懂的，可能还会。

但我会试着写得更快一点。」

他低下头，看着陆沉。

「你和我相反，你是直接找到最短路径走过去的，我观察过你做图兰定理的证明—

你在莫斯科做的那个，你用的方法不是所有路径里选最优，是你一开始就知道最优路径在哪里。」

陆沉没有接话。

何巍的观察是准确的，但何巍不知道他为什么一开始就知道。

那不是天赋，是前世的积累。

他已经在另一条时间线上走过了所有的弯路，知道了哪些路不通，哪些路通但绕远，哪些路最直。

他现在的直觉，是用前世无数次撞墙换来的地图。

「我不知道你是怎么做到的。」何巍说，「但你的方法，我学不来。」

他顿了顿。

「就像我的方法，你也学不来。」

陆沉想了想，点头。

「是。」

何巍嘴角动了一下。

那不是笑，是一种被理解的确认。

他把手从裤兜里抽出来，拍了拍陆沉的肩膀。

那只手很瘦，指节突出，拍在肩膀上的力道却很实在。

「走了。明天还要早起。」

他转身往宿舍楼走去，走了几步又停下来，没有回头。

「陆沉。」

「嗯。

「」

「如果最后进国家队的六个人里没有我——」他停顿了一下，「那六个人里一定要有你。」

然后他继续往前走，背影被路灯的光拉得很长，然后融进宿舍楼门口的阴影里。

陆沉在操场上又站了一会儿。

风从北面吹过来，带着食堂后厨的油烟味和远处供暖锅炉的煤烟味，混合成BJ冬夜特有的气息。

他把何巍那句话在心里又过了一遍—一如果最后进国家队的六个人里没有我，那六个人里一定要有你。

何巍说这句话的时候没有悲壮，没有感伤，甚至没有把自己放在一个牺牲者的位置上。

他只是客观地评估了两种可能性，然后给出了他认为对这支队伍最优的配置方案。

就像他在考场上选择从分歧指数定义开始推导分解律一样，他知道代价，他接受了代价，然后继续做他认为对的事。

第二周的专题是组合数学。

讲课的老师换了一位，姓彭，中科院数学所的研究员，四十出头，瘦，戴一副银框眼镜，说话语速极快，快到他的句子和句子之间几乎没有停顿，上一个句号还没来得及在空气里消散下一个句子已经冲出来了。

他在黑板上写字的速度也快，粉笔撞击黑板的声音密集得像机关枪，一堂课下来黑板要擦三四遍。

彭老师讲组合数学的方式和郑老师完全不同。

郑老师是讲一个定理，停下来等人提问。

彭老师是讲一个定理，然后立刻抛出三个变体，再然后让下面的人现场想其中最简单的那个变体怎么证。

想三分钟，然后点人起来回答。

被点到的人如果答不上来，他不会批评，但他会继续点下一个，直到有人答上来为止。

他的课堂上，没有人敢走神。

不是因为怕被点到，是因为他的讲授节奏本身就不给人走神的机会—每一个知识点都直接咬合着下一个知识点，中间没有缝隙。

周三上午，彭老师讲到了拉姆齐理论。

他在黑板上写下了拉姆齐数的定义：R（s，t）是满足以下条件的最小正整数n：任何一个n阶完全图，用红蓝两色对其边任意染色，必然存在一个红色的s阶完全子图，或者一个蓝色的t阶完全子图。

写完之后他转过身。

「R（3，3）等于多少？」

「六。」好几个人同时回答。

这是拉姆齐数里最经典的结论六个人中必然有三个互相认识或者三个互相不认识。

「证明。」

顾小北举手，站起来用抽屉原理乾净利落地证了一遍。

六个人，每个人与其他五人的关系只有两种，抽屉原理保证至少有三条边同色，然后分类讨论。

证毕。

」R（4，4）呢？」

教室里安静了。

R（4，4）等于十八，这是已知的结论，但证明比R（3，3）复杂得多，不是三分钟能想出来的。

彭老师显然也知道这一点，他没有点人回答，而是在黑板上写下了R（4，4）=18，然后说：「R（4，4）的准确值是1970年代才被确定的。在这之前，人们只知道它在某个范围内。确定它的过程用了大量的计算机搜索。」

他在黑板上又写了一个数：R（5，5）。

「这个数，现在还不知道准确值。只知道它在43到48之间。你们在座的任何人，如果有朝一日能把R（5，5）的准确值求出来，就可以直接去国际数学家大会上做报告了。」

教室里响起一阵低低的骚动。

一个未知的丶悬赏了几十年的数学问题，被彭老师用这样一种轻描淡写的方式扔在了他们面前。

「当然，这不是让你们现在去做R（5，5）。」

彭老师推了推眼镜，「我举这个例子是想告诉你们：组合数学里最困难的问题，往往表述起来最简单。一个初中生都能听懂的问题，全世界最聪明的数学家花了几十年都解决不了。这就是组合数学的魅力，也是它的残酷。」

他停顿了一下，目光扫过教室。

「接下来我们讲一个和拉姆齐理论相关但方向不同的问题——图兰定理。」

陆沉的手指微微收紧了。

彭老师在黑板上写下了一个公式：e（n，K?），即n个顶点中不含三角形子图的极大边数。

然后他开始推导图兰定理的经典形式禁止K—{r+1}子图的极大边数由完全r部图达到，边数为（1—1/r）n/2加上低阶项。

他讲得很清楚，从极值图论的基本思想出发，逐步构建图兰图的构造，然后证明它的极值性。

讲到一半的时候他忽然停下来，转过身。

「图兰定理的扩展形式，涉及禁止任意给定图H的极值问题，这是极值图论的核心课题。去年，在莫斯科的国际数学奥林匹克上，有一位选手在图兰定理扩展形式上做出了一个非常漂亮的证明。」

他没有看陆沉。

但他的目光扫过教室的时候，至少有十几双眼睛不由自主地转向了陆沉的方向。

彭老师顺着那些目光看过去，然后点了点头。

「看来大家都知道是谁了。」

教室里有人轻轻笑了一声，但笑声很短就收了。

彭老师没有在这个话题上多停留，继续讲他的课。

但陆沉注意到，当彭老师接下来讲到图兰定理证明中一个关键引理的时候，他特意在黑板上写下了两种不同的证明路径。

其中一种，正是陆沉在莫斯科用过的代数拓扑构造。

彭老师没有说这是陆沉的方法。

他只是把两种路径并列写在黑板上，然后说：「第一条路是传统路径，用的是概率方法和极值组合的标准工具。第二条路，是把极值图论问题提升到拓扑层面，利用单纯复形的同调群来刻画极图结构。两条路都能通，但第二条路需要的工具更多，视野也更开阔。」

下课以后，彭老师收拾讲台上的资料。

陆沉经过讲台时，彭老师叫住了他。

「你莫斯科那份证明，我看了叶戈罗夫教授转过来的稿子。」

彭老师把资料装进一个旧的牛皮纸文件袋里，动作不快，像在整理一堆需要小心对待的东西，「里面用同调群刻画极图结构的那一步，你用了谱序列，在那个年纪，会想到用谱序列的人，我没见过第二个。」

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